"htmlContent":"<h4>Fronta a zásobník</h4><p>S použitím spojových seznamů (nebo v jednodušším případě dokonce i polí) můžeme zkonstruovat dvě velmi užitečné datové struktury, frontu a zásobník.</p><p><i>Fronta</i> funguje tak, jak si ji asi každý z nás představuje: ten, kdo se do fronty postaví první, také první přijde na řadu. Trochu jinak si ji můžeme představit jako trubku, do které na jedné straně sypeme nějaké věci a na druhé je odebíráme. Anglicky je též nazývaná <i>FIFO</i> (<i>„First In, First Out“</i>).</p><p>Praktickou realizaci uděláme jednoduše spojovým seznamem. Budeme si držet dva ukazatele, jeden na začátek seznamu, druhý na konec. Když se objeví nový prvek, který do fronty budeme chtít vložit, přidáme ho na konec, zatímco při odebírání z fronty využijeme druhého ukazatele a vezmeme prvek ze začátku.</p><p>Druhou velmi podobnou datovou strukturou je <i>zásobník</i>. Jak už ale plyne z anglického názvu <i>LIFO</i> (<i>„Last In, First Out“</i>), funguje spíše jako plný šuplík: Nahoru do něj přidáváme nové prvky, a když chceme nějaký odebrat, vezmeme také zvrchu. To znamená, že první se na řadu dostane naposledy vložený prvek.</p><p>Implementace je velmi obdobná jako u fronty, jen bude ukazatel pouze jeden a bude ukazovat jenom na jeden konec spojového seznamu, konkrétně na poslední prvek.</p>",
"htmlContent":"<h4>Fronta a zásobník</h4><p>S použitím spojových seznamů (nebo v jednodušším případě dokonce i polí) můžeme zkonstruovat dvě velmi užitečné datové struktury, frontu a zásobník.</p><p><i>Fronta</i> funguje tak, jak si ji asi každý z nás představuje: ten, kdo se do fronty postaví první, také první přijde na řadu. Trochu jinak si ji můžeme představit jako trubku, do které na jedné straně sypeme nějaké věci a na druhé je odebíráme. Anglicky je též nazývaná <i>FIFO</i> (<i>„First In, First Out“</i>).</p><p>Praktickou realizaci uděláme jednoduše spojovým seznamem. Budeme si držet dva ukazatele, jeden na začátek seznamu, druhý na konec. Když se objeví nový prvek, který do fronty budeme chtít vložit, přidáme ho na konec, zatímco při odebírání z fronty využijeme druhého ukazatele a vezmeme prvek ze začátku.</p><p>Druhou velmi podobnou datovou strukturou je <i>zásobník</i>. Jak už ale plyne z anglického názvu <i>LIFO</i> (<i>„Last In, First Out“</i>), funguje spíše jako plný šuplík: Nahoru do něj přidáváme nové prvky, a když chceme nějaký odebrat, vezmeme také zvrchu. To znamená, že první se na řadu dostane naposledy vložený prvek.</p><p>Implementace je velmi obdobná jako u fronty, jen bude ukazatel pouze jeden a bude ukazovat jenom na jeden konec spojového seznamu, konkrétně na poslední prvek.</p>",
"position":[
"position":[
-1178.571189880371,
-775.7975082397461,
1151.113712310791
949.1721229553223
]
]
},
},
{
{
@ -2191,8 +2191,8 @@
"title":"Grafy",
"title":"Grafy",
"htmlContent":"<h4>Grafy</h4><p>S nějakými grafy jste se již možná potkali, ale tento pojem je bohužel docela přetěžovaný. Jedním jeho významem jsou „koláčové grafy“ a jiné další diagramy znázorňující nějaký poměr (ať už to jsou výsledky voleb, nebo poměr lidí, kteří sledovali v televizi Večerníček).</p><p>Další význam můžeme nalézt v analytické matematice, kde se potkáme s grafy průběhu nějakých funkcí. My však nemáme na mysli ani jedno z výše zmíněných, teď se budeme bavit o <i>kombinatorických grafech</i>.</p><p>Grafem tedy máme na mysli nějakou množinu objektů, říkejme jim <i>vrcholy</i>, a nějaké vztahy mezi nimi. Tyto vztahy nazýváme <i>hranami</i> a jsou vyjádřené dvojicemi vrcholů, mezi kterými vedou. Ukázku takového grafu vidíme třeba na následujícím obrázku.</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-3.png\" alt=\"Graf\"></figure><p>Jako praktickou ukázku grafu si můžeme například představit silniční síť nějakého státu: vrcholy budou města a hrany budou silnice, které mezi nimi vedou.</p><p>Občas se můžete setkat s pojmem <i>souvislý</i> graf. Ten znamená jen to, že mezi každými dvěma vrcholy existuje nějaká cesta. Pokud tomu tak není, je graf <i>nesouvislý</i> a dá se rozložit na několik menších grafů, které již souvislé jsou a říká se jim <i>komponenty souvislosti</i>.</p><p>Samotný graf poté můžeme doplnit tím, že si v každém vrcholu nebo na každé hraně budeme pamatovat nějakou hodnotu (například cenu nejlevnějšího benzínu ve městech a délku v kilometrech na silnicích). Pamatování si hodnot ve vrcholech je docela obvyklá technika a nemá speciální název, ale pokud budeme mít graf, který si pamatuje hodnoty na hranách, budeme o něm mluvit jako o <i>ohodnoceném grafu</i>.</p><p>Další možnou úpravou je, že každá hrana povede jen jedním směrem (jednosměrné silnice), takovým grafům říkáme <i>orientované</i> (pokud pak v orientovaném grafu chceme silnici oběma směry, prostě do něj přidáme dvě hrany, jednu v každém směru).</p><p>Poslední, co nám schází k praktickému použití grafů, je naučit se, jak je reprezentovat v počítači. Existuje několik možností (v popisech bude n značit počet vrcholů, m počet hran):</p><ul><li><strong>Seznam sousedů</strong> – vrcholy grafu budeme mít uložené v poli a u každého vrcholu budeme mít (spojový) seznam čísel dalších vrcholů, do kterých z aktuálního vrcholu vede hrana. Zabírá místo O(n+m) a hodí se pro řídké grafy (tedy grafy, kde je m řádově stejné jako n).</li><li><strong>Matice sousednosti</strong> – tabulka n×n, kde na souřadnicích [i,j] je jednička (nebo jiná hodnota, v případě ohodnoceného grafu), pokud z i do j vede hrana, a nula, pokud tam hrana není (u neorientovaných grafů je navíc matice symetrická – je jedno, jestli vezmeme [i,j] nebo [j,i]). Hodí se pro husté grafy, kde m~n2.</li><li><strong>Matice incidence</strong> – řádky reprezentují vrcholy, sloupce hrany. V každém sloupci jsou právě dvě jedničky – indexy vrcholů, mezi kterými hrana vede. Zabírá však O(mn) a její použití bývá dost neohrabané, takže je většinou lepší dát přednost jiné reprezentaci grafu. Je ale dobré o ní vědět.</li></ul><p>Grafy jsou velmi široké téma. Můžeme hledat jejich minimální kostry, můžeme v nich hledat nejkratší cesty či skrze ně pouštět pod tlakem vodu. Více o nich si tedy můžete přečíst v některé z našich specializovaných grafových kuchařek, které odkazujeme z našeho <a href=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/\">kuchařkového rozcestníku</a>.</p>",
"htmlContent":"<h4>Grafy</h4><p>S nějakými grafy jste se již možná potkali, ale tento pojem je bohužel docela přetěžovaný. Jedním jeho významem jsou „koláčové grafy“ a jiné další diagramy znázorňující nějaký poměr (ať už to jsou výsledky voleb, nebo poměr lidí, kteří sledovali v televizi Večerníček).</p><p>Další význam můžeme nalézt v analytické matematice, kde se potkáme s grafy průběhu nějakých funkcí. My však nemáme na mysli ani jedno z výše zmíněných, teď se budeme bavit o <i>kombinatorických grafech</i>.</p><p>Grafem tedy máme na mysli nějakou množinu objektů, říkejme jim <i>vrcholy</i>, a nějaké vztahy mezi nimi. Tyto vztahy nazýváme <i>hranami</i> a jsou vyjádřené dvojicemi vrcholů, mezi kterými vedou. Ukázku takového grafu vidíme třeba na následujícím obrázku.</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-3.png\" alt=\"Graf\"></figure><p>Jako praktickou ukázku grafu si můžeme například představit silniční síť nějakého státu: vrcholy budou města a hrany budou silnice, které mezi nimi vedou.</p><p>Občas se můžete setkat s pojmem <i>souvislý</i> graf. Ten znamená jen to, že mezi každými dvěma vrcholy existuje nějaká cesta. Pokud tomu tak není, je graf <i>nesouvislý</i> a dá se rozložit na několik menších grafů, které již souvislé jsou a říká se jim <i>komponenty souvislosti</i>.</p><p>Samotný graf poté můžeme doplnit tím, že si v každém vrcholu nebo na každé hraně budeme pamatovat nějakou hodnotu (například cenu nejlevnějšího benzínu ve městech a délku v kilometrech na silnicích). Pamatování si hodnot ve vrcholech je docela obvyklá technika a nemá speciální název, ale pokud budeme mít graf, který si pamatuje hodnoty na hranách, budeme o něm mluvit jako o <i>ohodnoceném grafu</i>.</p><p>Další možnou úpravou je, že každá hrana povede jen jedním směrem (jednosměrné silnice), takovým grafům říkáme <i>orientované</i> (pokud pak v orientovaném grafu chceme silnici oběma směry, prostě do něj přidáme dvě hrany, jednu v každém směru).</p><p>Poslední, co nám schází k praktickému použití grafů, je naučit se, jak je reprezentovat v počítači. Existuje několik možností (v popisech bude n značit počet vrcholů, m počet hran):</p><ul><li><strong>Seznam sousedů</strong> – vrcholy grafu budeme mít uložené v poli a u každého vrcholu budeme mít (spojový) seznam čísel dalších vrcholů, do kterých z aktuálního vrcholu vede hrana. Zabírá místo O(n+m) a hodí se pro řídké grafy (tedy grafy, kde je m řádově stejné jako n).</li><li><strong>Matice sousednosti</strong> – tabulka n×n, kde na souřadnicích [i,j] je jednička (nebo jiná hodnota, v případě ohodnoceného grafu), pokud z i do j vede hrana, a nula, pokud tam hrana není (u neorientovaných grafů je navíc matice symetrická – je jedno, jestli vezmeme [i,j] nebo [j,i]). Hodí se pro husté grafy, kde m~n2.</li><li><strong>Matice incidence</strong> – řádky reprezentují vrcholy, sloupce hrany. V každém sloupci jsou právě dvě jedničky – indexy vrcholů, mezi kterými hrana vede. Zabírá však O(mn) a její použití bývá dost neohrabané, takže je většinou lepší dát přednost jiné reprezentaci grafu. Je ale dobré o ní vědět.</li></ul><p>Grafy jsou velmi široké téma. Můžeme hledat jejich minimální kostry, můžeme v nich hledat nejkratší cesty či skrze ně pouštět pod tlakem vodu. Více o nich si tedy můžete přečíst v některé z našich specializovaných grafových kuchařek, které odkazujeme z našeho <a href=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/\">kuchařkového rozcestníku</a>.</p>",
"position":[
"position":[
-1173.0264511108398,
-853.4704818725586,
1315.3344459533691
1209.9252662658691
]
]
},
},
{
{
@ -2219,8 +2219,8 @@
"title":"Knihovny",
"title":"Knihovny",
"htmlContent":"<h4>Knihovny</h4><p>Tyto základní struktury už jsou často předpřipravené jako součást určitých <i>knihoven</i> v daném jazyce. Knihovna je většinou sbírka nějakých navzájem souvisejících funkcí, které již někdo sepsal a které si můžeme do našeho programu načíst a používat. Ukázku načtení knihoven můžete vidět například ve výše zmíněném kódu v jazyce C.</p><p>Je ale velmi důležité rozumět tomu, jak knihovní funkce vnitřně fungují. Protože jedině když budeme vědět, co je jak rychlé a efektivní, budeme schopni psát rychlé programy.</p><p>Teď již víme, jak reprezentovat nejzákladnější datové struktury v počítači, ale mohlo by se nám hodit zastavit se ještě chvíli u dalších struktur. Tentokrát je už budeme studovat trochu teoretičtěji.</p>",
"htmlContent":"<h4>Knihovny</h4><p>Tyto základní struktury už jsou často předpřipravené jako součást určitých <i>knihoven</i> v daném jazyce. Knihovna je většinou sbírka nějakých navzájem souvisejících funkcí, které již někdo sepsal a které si můžeme do našeho programu načíst a používat. Ukázku načtení knihoven můžete vidět například ve výše zmíněném kódu v jazyce C.</p><p>Je ale velmi důležité rozumět tomu, jak knihovní funkce vnitřně fungují. Protože jedině když budeme vědět, co je jak rychlé a efektivní, budeme schopni psát rychlé programy.</p><p>Teď již víme, jak reprezentovat nejzákladnější datové struktury v počítači, ale mohlo by se nám hodit zastavit se ještě chvíli u dalších struktur. Tentokrát je už budeme studovat trochu teoretičtěji.</p>",
"position":[
"position":[
-1175.2318496704102,
-844.5801773071289,
1229.113712310791
1164.7586097717285
]
]
},
},
{
{
@ -2289,8 +2289,8 @@
"title":"Spojový seznam",
"title":"Spojový seznam",
"htmlContent":"<h4>Spojový seznam a ukazatele</h4><p>Pole jsme měli v paměti určené jenom tím, že počítač věděl, kde je jeho začátek a kolik místa v paměti zabírají jeho prvky. Při dotazování na konkrétní index pak podle indexu a podle velikosti prvků počítač přesně věděl, kam do paměti se má podívat, aby našel námi požadovaný prvek (to vše zvládl v konstantním čase). Jednotlivé prvky si tedy vůbec nemusely pamatovat, kde se nachází jejich sousedi, protože všechny prvky seděly v paměti za sebou.</p><p>Představme si ale teď situaci, kdy by si každý prvek ještě pamatoval pozice sousedů. Pak bychom mohli mít prvky libovolně rozházené v paměti a jen by se na sebe vzájemně odkazovaly (první prvek by tvrdil, že druhý je na pozici X, druhý by tvrdil, že třetí je na pozici Y, a tak dále).</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-1.png\" alt=\"Spojový seznam\"></figure><p>K lepšímu pochopení tohoto principu je důležité si vysvětlit, co to je <i>ukazatel</i> (nebo také <i>odkaz</i> či anglicky <i>pointer</i>). Každé místo v paměti počítače má své číselné označení, kterému říkáme <i>adresa</i>. Když si vytváříme nějakou pojmenovanou proměnnou, ta se vlastně odkazuje na určité místo v paměti a na tomto místě v paměti je její hodnota.</p><p>Co kdyby ale hodnota proměnné byla adresa nějakého jiného místa v paměti? Pak takové proměnné říkáme <i>pointer</i> a umožňuje nám vytvářet výše popsanou strukturu rozházených prvků v paměti.</p><p><i>Spojový seznam</i> je tedy určený svým prvním prvkem (máme v jedné proměnné pointer na tento prvek, který se často nazývá <i>kořen</i>, protože z něj „vyrůstá“ zbytek struktury) a poté u každého dalšího prvku máme za sebou uloženou hodnotu tohoto prvku a odkaz (pointer) na další prvek. Odkazy mezi prvky mohou být i obousměrné, mohou vést dokola (poslední ukazuje na první) či mohou dokonce tvořit nějakou složitější strukturu (pak to ale již nebude čistý spojový seznam).</p><p>Pokud pointer nemá nikam ukazovat, realizuje se to odkázáním tohoto pointeru na adresu NULL. To skoro doslovně říká „Neukazuji nikam“.</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-2.png\" alt=\"Obousměrný cyklický spojový seznam\"></figure><p>Co nám takto vystavěná struktura umožňuje v porovnání s polem? Přístup na konkrétní prvek v ní stojí lineárně času, protože ho musíme „odkrokovat“ od prvního prvku (na který máme pointer), tedy musíme udělat až O(N) kroků. Pokud bychom však pointer na daný prvek už nějak měli, samozřejmě na něj můžeme přistoupit v konstantním čase.</p><p>Naopak přidávání prvků na konkrétní místo (i jejich odebírání) máme v podstatě zadarmo a spojový seznam můžeme rozšiřovat, dokud na něj máme v počítači paměť. Ve chvíli, kdy chceme přidat nový prvek za prvek, na který máme pointer, jen šikovně přepojíme ukazatele. Pokud předtím ukazatele vedly A→B, teď povedou A →C →B (a při odebírání naopak).</p>",
"htmlContent":"<h4>Spojový seznam a ukazatele</h4><p>Pole jsme měli v paměti určené jenom tím, že počítač věděl, kde je jeho začátek a kolik místa v paměti zabírají jeho prvky. Při dotazování na konkrétní index pak podle indexu a podle velikosti prvků počítač přesně věděl, kam do paměti se má podívat, aby našel námi požadovaný prvek (to vše zvládl v konstantním čase). Jednotlivé prvky si tedy vůbec nemusely pamatovat, kde se nachází jejich sousedi, protože všechny prvky seděly v paměti za sebou.</p><p>Představme si ale teď situaci, kdy by si každý prvek ještě pamatoval pozice sousedů. Pak bychom mohli mít prvky libovolně rozházené v paměti a jen by se na sebe vzájemně odkazovaly (první prvek by tvrdil, že druhý je na pozici X, druhý by tvrdil, že třetí je na pozici Y, a tak dále).</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-1.png\" alt=\"Spojový seznam\"></figure><p>K lepšímu pochopení tohoto principu je důležité si vysvětlit, co to je <i>ukazatel</i> (nebo také <i>odkaz</i> či anglicky <i>pointer</i>). Každé místo v paměti počítače má své číselné označení, kterému říkáme <i>adresa</i>. Když si vytváříme nějakou pojmenovanou proměnnou, ta se vlastně odkazuje na určité místo v paměti a na tomto místě v paměti je její hodnota.</p><p>Co kdyby ale hodnota proměnné byla adresa nějakého jiného místa v paměti? Pak takové proměnné říkáme <i>pointer</i> a umožňuje nám vytvářet výše popsanou strukturu rozházených prvků v paměti.</p><p><i>Spojový seznam</i> je tedy určený svým prvním prvkem (máme v jedné proměnné pointer na tento prvek, který se často nazývá <i>kořen</i>, protože z něj „vyrůstá“ zbytek struktury) a poté u každého dalšího prvku máme za sebou uloženou hodnotu tohoto prvku a odkaz (pointer) na další prvek. Odkazy mezi prvky mohou být i obousměrné, mohou vést dokola (poslední ukazuje na první) či mohou dokonce tvořit nějakou složitější strukturu (pak to ale již nebude čistý spojový seznam).</p><p>Pokud pointer nemá nikam ukazovat, realizuje se to odkázáním tohoto pointeru na adresu NULL. To skoro doslovně říká „Neukazuji nikam“.</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-2.png\" alt=\"Obousměrný cyklický spojový seznam\"></figure><p>Co nám takto vystavěná struktura umožňuje v porovnání s polem? Přístup na konkrétní prvek v ní stojí lineárně času, protože ho musíme „odkrokovat“ od prvního prvku (na který máme pointer), tedy musíme udělat až O(N) kroků. Pokud bychom však pointer na daný prvek už nějak měli, samozřejmě na něj můžeme přistoupit v konstantním čase.</p><p>Naopak přidávání prvků na konkrétní místo (i jejich odebírání) máme v podstatě zadarmo a spojový seznam můžeme rozšiřovat, dokud na něj máme v počítači paměť. Ve chvíli, kdy chceme přidat nový prvek za prvek, na který máme pointer, jen šikovně přepojíme ukazatele. Pokud předtím ukazatele vedly A→B, teď povedou A →C →B (a při odebírání naopak).</p>",
"position":[
"position":[
-1177.725112915039,
-602.9680938720703,
1064.477451324463
850.3306617736816
]
]
},
},
{
{
@ -2303,8 +2303,8 @@
"title":"Stromy",
"title":"Stromy",
"htmlContent":"<h4>Stromy</h4><p>Možná si říkáte, co má informatika u všech elektronů společného s lesnictvím? Kupodivu celkem mnoho a bez stromů bychom se v leckterém případě jen těžko obešli. Informatické stromy sice nejsou většinou tak zelené, mají ale, na rozdíl od svých dřevnatých sourozenců, mnoho jiných pěkných vlastností.</p><p>Strom je vlastně speciálním případem souvislého grafu, který neobsahuje žádnou kružnici (cyklus). To znamená, že mezi každými dvěma vrcholy stromu existuje právě jedna cesta.</p><p>Díky této vlastnosti můžeme nějaký zvolený vrchol prohlásit za <i>kořen</i> a strom za něj pomyslně zavěsit (tak, že strom roste od kořene směrem dolů), této operaci se říká <i>zakořenění</i>. Pak můžeme mluvit o tom, že z kořene směrem dolů (informatické stromy mají tradičně kořen nahoře) vyrůstají nějaké <i>podstromy</i>.</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-4.png\" alt=\"Strom\"></figure><p>Pokud je strom zakořeněný, můžeme v něm mluvit o <i>hloubce</i> každého vrcholu, neboli o jeho vzdálenosti od kořene. Hloubka celého stromu je pak nejdelší ze vzdáleností od kořene k nějakému z <i>listů</i> (tak říkáme vrcholům, které již nemají žádné <i>syny</i>, tedy vrcholy, které by z nich vyrůstaly). Podle hloubky poté můžeme vrcholy stromu uspořádat do jednotlivých <i>hladin</i>.</p><p>Velmi často používáme stromy, které jsou nějak pravidelné. Příkladem jsou třeba <i>binární stromy</i>, které mají v každém vrcholu maximálně dva syny (říkáme jim <i>levý a pravý podstrom</i>). Reprezentovat se dají buď obecně jako každý jiný strom (v každém vrcholu spojový seznam podstromů), nebo velmi pěkně i v poli.</p><p>Stačí si pomyslně doplnit binární strom na <i>úplný</i> (to je takový, který má všechny své hladiny plné) a pak ho od kořene směrem dolů po hladinách očíslovat (kořen dostane číslo nula, jeho synové čísla jedna a dva, další hladina čísla tři až šest, atd.).</p><p>Můžeme si všimnout, že pokud si v takovém očíslování vezmeme jakýkoliv vrchol s číslem (indexem) i, jeho synové jsou právě vrcholy s indexy 2i+1 a 2i+2. Do pole níže je zapsaný binární strom z obrázku výše.</p><figure class=\"table\"><table><tbody><tr><td>index</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>hodnota</td><td>8</td><td>3</td><td>12</td><td>1</td><td>5</td><td>9</td><td>14</td><td>-</td><td>-</td><td>4</td><td>7</td></tr></tbody></table></figure><p>Jak plyne z očíslování, pro úplný binární strom je uložení v poli efektivní a neplýtváme místem. Pokud ale strom úplný nebude, zůstanou nám v poli volná místa. Uložení v poli se tedy vyplatí jen pro stromy, které se od úplných příliš neliší.</p><p>Speciálním případem binárních stromů jsou pak ještě <i>binární vyhledávací stromy</i>. Jsou to normální binární stromy, pro něž navíc platí, že ať si vezmeme libovolný vrchol, budou hodnoty vrcholů v jeho levém podstromu menší než hodnota tohoto vrcholu a hodnoty v jeho pravém podstromu naopak větší.</p><p>V takovém stromu pak zvládneme snadno vyhledávat. Budeme ho postupně procházet od kořene a v jednotlivých vrcholech budeme porovnávat hledanou a aktuální hodnotu a podle toho sestupovat do správného podstromu. Podobná technika je detailněji popsaná ve druhé části kuchařky, v sekci <i>Rozděl a panuj</i>.</p><p>Na složitější datové struktury stavějící na těchto základních (haldy, intervalové stromy, …) se můžete podívat do některé z našich dalších kuchařek, na jejichž přehled jsme vás už odkázali o kapitolu výše.</p>",
"htmlContent":"<h4>Stromy</h4><p>Možná si říkáte, co má informatika u všech elektronů společného s lesnictvím? Kupodivu celkem mnoho a bez stromů bychom se v leckterém případě jen těžko obešli. Informatické stromy sice nejsou většinou tak zelené, mají ale, na rozdíl od svých dřevnatých sourozenců, mnoho jiných pěkných vlastností.</p><p>Strom je vlastně speciálním případem souvislého grafu, který neobsahuje žádnou kružnici (cyklus). To znamená, že mezi každými dvěma vrcholy stromu existuje právě jedna cesta.</p><p>Díky této vlastnosti můžeme nějaký zvolený vrchol prohlásit za <i>kořen</i> a strom za něj pomyslně zavěsit (tak, že strom roste od kořene směrem dolů), této operaci se říká <i>zakořenění</i>. Pak můžeme mluvit o tom, že z kořene směrem dolů (informatické stromy mají tradičně kořen nahoře) vyrůstají nějaké <i>podstromy</i>.</p><figure class=\"image\"><img src=\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-4.png\" alt=\"Strom\"></figure><p>Pokud je strom zakořeněný, můžeme v něm mluvit o <i>hloubce</i> každého vrcholu, neboli o jeho vzdálenosti od kořene. Hloubka celého stromu je pak nejdelší ze vzdáleností od kořene k nějakému z <i>listů</i> (tak říkáme vrcholům, které již nemají žádné <i>syny</i>, tedy vrcholy, které by z nich vyrůstaly). Podle hloubky poté můžeme vrcholy stromu uspořádat do jednotlivých <i>hladin</i>.</p><p>Velmi často používáme stromy, které jsou nějak pravidelné. Příkladem jsou třeba <i>binární stromy</i>, které mají v každém vrcholu maximálně dva syny (říkáme jim <i>levý a pravý podstrom</i>). Reprezentovat se dají buď obecně jako každý jiný strom (v každém vrcholu spojový seznam podstromů), nebo velmi pěkně i v poli.</p><p>Stačí si pomyslně doplnit binární strom na <i>úplný</i> (to je takový, který má všechny své hladiny plné) a pak ho od kořene směrem dolů po hladinách očíslovat (kořen dostane číslo nula, jeho synové čísla jedna a dva, další hladina čísla tři až šest, atd.).</p><p>Můžeme si všimnout, že pokud si v takovém očíslování vezmeme jakýkoliv vrchol s číslem (indexem) i, jeho synové jsou právě vrcholy s indexy 2i+1 a 2i+2. Do pole níže je zapsaný binární strom z obrázku výše.</p><figure class=\"table\"><table><tbody><tr><td>index</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>hodnota</td><td>8</td><td>3</td><td>12</td><td>1</td><td>5</td><td>9</td><td>14</td><td>-</td><td>-</td><td>4</td><td>7</td></tr></tbody></table></figure><p>Jak plyne z očíslování, pro úplný binární strom je uložení v poli efektivní a neplýtváme místem. Pokud ale strom úplný nebude, zůstanou nám v poli volná místa. Uložení v poli se tedy vyplatí jen pro stromy, které se od úplných příliš neliší.</p><p>Speciálním případem binárních stromů jsou pak ještě <i>binární vyhledávací stromy</i>. Jsou to normální binární stromy, pro něž navíc platí, že ať si vezmeme libovolný vrchol, budou hodnoty vrcholů v jeho levém podstromu menší než hodnota tohoto vrcholu a hodnoty v jeho pravém podstromu naopak větší.</p><p>V takovém stromu pak zvládneme snadno vyhledávat. Budeme ho postupně procházet od kořene a v jednotlivých vrcholech budeme porovnávat hledanou a aktuální hodnotu a podle toho sestupovat do správného podstromu. Podobná technika je detailněji popsaná ve druhé části kuchařky, v sekci <i>Rozděl a panuj</i>.</p><p>Na složitější datové struktury stavějící na těchto základních (haldy, intervalové stromy, …) se můžete podívat do některé z našich dalších kuchařek, na jejichž přehled jsme vás už odkázali o kapitolu výše.</p>",
