ANO +ANO +NE +ANO ++
++Kevin otevřel obálku (kterou našel ve schránce) a vyndal z ní všechny papíry. Jeden +ho obzvláště zaujal (ten od KSP). Ihned si všiml, že (na začátku) obsahuje nějak +mnoho závorek. Tak by ho zajímalo, jestli tam (autoři zadání) neudělali nějakou +chybu. Pomůžete mu (s ověřením)?
++Pro danou posloupnost symbolů ( a ), tedy otevíracích +a zavíracích závorek, najděte od začátku co nejdelší úsek, který je platným +uzávorkováním – tedy každá závorka má svoji do páru.
++Tvar vstupu: +Na prvním řádku dostanete číslo N. Na dalších N řádcích budou jednotlivé +testovací případy.
++Tvar výstupu: +Pro každý testovací případ vypište na řádek délku nalezeného uzávorkování.
++Slibujeme, že N bude nejvýše 1 000, a každý řádek bude mít nejvýše 105 symbolů.
+3 +(()())())() +((()())())() +(()()))()()()()() ++
8 +12 +6 ++
+Uzavírající závorka na deváté pozici nemá svůj protějšek. Druhý řádek je celý platné uzávorkování.
diff --git a/frontend/src/tests/example_assignments/31-3-3.html b/frontend/src/tests/example_assignments/31-3-3.html new file mode 100644 index 0000000..bad1e26 --- /dev/null +++ b/frontend/src/tests/example_assignments/31-3-3.html @@ -0,0 +1,51 @@ ++Na podlaze se nachází sesypaný hrách s popelem a mezi tím poskakuje několik +holoubků a vrabčáků. Chtějí Popelce pomoct vysbírat všechen hrách. Pro každou +kuličku hrachu chceme zjistit, zda ji nějaký ptáček dokáže sezobnout a přenést +do ošatky. Holoubci i vrabčáci se však pohybují každý jinak. Vrabčáci poskakují +rovně dopředu, dozadu, doleva i doprava, zato holoubci chodí šikmo do všech +čtyř stran.
++Celou situaci si lze představit jako rozmístění figurek na šachovnici. +Holoubci představují černé střelce, vrabčáci černé věže a kuličky hrachu pak +bílé pěšáky. Pro každou bílou figurku chceme zjistit, zda ji dokážeme v jednom +tahu nějakou černou figurkou vyhodit.
++Formát vstupu: Na prvním řádku vstupu se nachází dvě čísla B a C, a to +počet kuliček hrachu (neboli bílých figurek) a počet ptáčků (neboli černých +figurek). Na dalších B řádcích se nachází souřadnice kuliček hrachu jako +dvojice čísel oddělených mezerou, číslo řádku a číslo sloupce udávajících, kde +se kulička nachází. Na dalších C řádcích se pak nachází pozice ptáčků – každý +takový řádek obsahuje znak H nebo V a dvojici čísel udávajících +řádek a sloupec, kde ptáček stojí (opět vše oddělené mezerami). Znak H +značí holoubka (pohybuje se jako střelec) a znak V vrabčáka (pohybuje se +jako věž). Figurky na vstupu mohou být seřazené náhodně.
++Formát výstupu: Na B řádků výstupu vypište (ve stejném pořadí, jako na +vstupu) pro každou kuličku hrachu ANO nebo NE podle toho, jestli +existuje nějaký holoubek nebo vrabčák, který může tuto kuličku hrachu jedním +tahem sezobnout.
+4 3 +0 1 +0 2 +0 3 +2 2 +V 0 0 +H 1 3 +V 3 3 ++
ANO +ANO +NE +ANO ++
++Kevin se po prázdninách zase vrací do školy. Jako obvykle dostal seznam pomůcek, +které si má obstarat. Malé sešity, velké sešity, pravítko, pastelky, barvy na +výtvarku, učebnice na češtinu a dějepis a možná i novou aktovku. To vypadá na +velký nákup!
++Kevin se tedy vydal do obchodu. Jak dává věci do košíku, píše si i seznam cen. V +tom si ale uvědomí, že má jen P korun. Kolik nejméně z N věcí v košíku musí +Kevin vyhodit, aby mu P korun stačilo?
++Tvar vstupu: Na prvním řádku se nachází počet věcí v košíku N a počet korun P, které Kevin může +utratit. Na druhém řádku je pak seznam cen věcí v košíku, tedy N kladných čísel +oddělených mezerami.
++Tvar výstupu: Vypište jedním číslem nejmenší počet věcí, které musí Kevin +z košíku vyhodit.
+5 59 +8 20 30 1999 40 ++
2 ++
+Nejprve si vyřešme jednodušší úlohu: jak o nějaké posloupnosti závorek +poznáme, jestli je (celá) správně uzávorkovaná? Určitě musí obsahovat +stejný počet levých a pravých závorek – jinak těžko mohou tvořit páry.
++Ovšem to nestačí. Uvažte třeba posloupnost ())(. Ta obsahuje dvě +levé a dvě pravé závorky, ale korektním uzávorkováním určitě není. +Na třetí pozici se pokoušíme ukončit závorku „dřív, než začala“.
++Jak takovou situaci poznáme? Podíváme-li se na první tři znaky naší +posloupnosti, vidíme, že obsahují jednu levou závorku a dvě pravé. +Obecně problém nastane, pokud existuje v posloupnosti nějaké místo +takové, že v úseku od začátku po toto místo je více pravých závorek +než levých. Pak alespoň jedna z těch pravých nemá před sebou žádnou +levou, se kterou bychom ji mohli spárovat.
++Pokud posloupnost obsahuje stejně levých a pravých závorek a nenastane +problém popsaný výše, pak už si snadno rozmyslíte, že je vždy jde +správně spárovat, a tedy uzávorkování je korektní.
+
+Nyní k původní úloze. Představme si, že si chceme označit všechna +místa v posloupnosti, kde může končit korektní uzávorkování (začínající +na začátku). Třeba pro příklad ze zadání to budou následující místa +(označena hvězdičkou): (()())*()*)().
++Jak je najdeme? Budeme postupně procházet posloupnost od začátku a průběžně +si počítat, kolik levých a pravých závorek už jsme viděli. Pokud narazíme +na místo, kde jsme napočítali víc pravých než levých, můžeme rovnou skončit. +Už víme, že takové uzávorkování korektní není, a přidáním libovolných dalších +závorek na konec už nemůžeme napravit chybějící závorky nalevo od aktuální +pozice.
++Pokud tato situace ještě nenastala a objevíme místo, před kterým je počet +levých a pravých závorek stejný, označíme si jej. Podle toho, co jsme si +řekli výše, uzávorkování končící na tomto místě je korektní.
++Ukažme si průběh algoritmu na předchozím příkladu:
+| ( | ( | ) | ( | ) | ) | ( | ) | ) | ( | ) | |
| Pozice | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Počet levých | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | - | - |
| Počet pravých | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | - | - |
| Rozdíl | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | -1 | - | - |
| Akce | * | * | X |
+Hvězdička znamená označení místa s korektním uzávorkováním +a X konec prohledávání, když žádné další uzávorkování korektní být +nemůže.
++Na konci jen vypíšeme nejpravější označené místo. Všimněme si, že +si nemusíme ukládat všechna označená místa, stačí si vždy pamatovat +poslední dosud nalezené. Další drobné zjednodušení je místo dvou +počítadel použít jen jedno, uchovávající rozdíl počtu dosud načtených +levých a pravých závorek (řádek „rozdíl“ v tabulce výše). Pak označujeme, +když je toto počítadlo rovné nule, a končíme, pokud klesne pod nulu.
+Program (Python 3) – počítání obou druhů závorek
+Program (Python 3) – stačí nám počítat jen levé
+ ++Pokud máte pocit, že jste zde dříve viděli něco jiného, nemýlíte se. Věříme, že toto řešení pro vás bude stravitelnější.
++Pro každou z bílých figurek chceme zjistit, zda je ohrožována aspoň jednou +černou. Můžeme zkusit vyzkoušet pro každou dvojici bílé a černé figurky, zda se +ohrožují. Těchto dvojic je ovšem až kvadraticky mnoho a navíc se nám může stát, že +i když by se dvojice ohrožovala, tak se mezi nimi nachází další figurka, která +černé figurce z naší dvojice překáží ve výhledu a znemožňuje jí bílou figurku +sebrat. Protože ověřit, zda dvojici nepřekáží ve výhledu další figurka, trvá +lineárně dlouho, toto řešení je O(n3).
++Jelikož černé figurky jsou pouze věže a střelci, bílé figurky mohou být +ohroženy pouze z dohromady osmi směrů, kterými se černé dokážou pohybovat. +Řešení můžeme vylepšit tím, že budeme zjišťovat, zda je bílá figurka ohrožena, +pro každý směr zvlášť. Například pokud chceme pro každou bílou figurku zjistit, +zda je ohrožena zleva nebo zprava, stačí nám uvažovat pouze ty figurky, které +leží na stejném řádku. Navíc každá figurka má na svém řádku nejvýše dva +sousedy, jednoho zleva, druhého zprava. Stačí nám uvažovat jen tyto +sousedy, protože budou všem ostatním figurkám na řádku překážet ve výhledu. Pro +každou z lineárně mnoho bílých figurek tedy v lineárním čase najdeme ty +figurky, které s nimi sdílí řádek (pro ostatní směry ty, které sdílí sloupec či +diagonálu), v lineárním čase najdeme mezi nimi dva nejbližší sousedy bílé +figurky a pro ty vyzkoušíme, zda figurku neohrožují, to jest zda se jedná o černé figurky a jestli jsou typu, který se umí v tomto směru pohybovat. Celkově je toto řešení +O(n · (n + n)), tedy O(n2).
++Abychom uměli rychle zjistit, které figurky leží na stejném řádku, můžeme si +nejprve všechny figurky seřadit podle jejich souřadnice řádku. V seřazeném seznamu figurek +leží figurky na stejném řádku vedle sebe. Pokud bychom navíc vzali +všechny figurky na stejném řádku a seřadili je podle souřadnice sloupce a +uložili do nějakého pole, budeme je mít uspořádané v tom pořadí, v jakém leží +na řádku za sebou. Pro libovolnou figurku na řádku tedy umíme najít její +sousedy prostě tak, že se podíváme v tomto uspořádaném poli na index o jedna +nižší a o jedna vyšší.
++Tato dvě setřídění můžeme provést zároveň. Primárně figurky setřídíme podle +souřadnice řádku, sekundárně pak podle souřadnice sloupce. Takové uspořádání, +kde třídíme primárně podle jednoho kritéria a sekundárně podle jiného, se +nazývá lexikografické. Nyní nám stačí projít setříděné pole a pro každou +bílou figurku se podívat na její dva sousedy a rozhodnout, zda ji neohrožují. +Také musíme dát pozor na to, že sousední figurky v setříděném poli figurek se +nemusí nacházet na stejném řádku. Pokud je soused bíle figurky na jiném řádku, +znamená to, že v daném směru se už na stejném řádku nenachází žádné figurky. +Také si všimněme, že tímto uspořádáním najdeme všechny takové figurky, které +bíle ohrožují ne jen z jednoho směru z osmi, ale ze dvou (zprava i zleva).
++Kompletní řešení pro každou ze čtyř „os“ (doleva-doprava, nahoru-dolů, +diagonálně doprava nahoru, diagonálně doprava dolů) lexikograficky figurky +uspořádá, uspořádané pole v lineárním čase projde a pro každou bílou figurku určí, zda +je ohrožována. Toto řešení má tedy časovou složitost O(n log n).
+ + ++K tomu, abychom za věci utratili co možná nejméně, potřebujeme do košíku +postupně vybírat věci od té nejlevnější po tu nejdražší.
++Pole cen tedy vzestupně setřídíme a budeme jej postupně procházet, přičemž +si budeme pamatovat součet cen věcí, které při průchodu potkáme. Jakmile +při procházení přesáhne tento součet koruny vyhrazené na nákup, tak podle +pozice v poli víme, kolik věcí si můžeme koupit.
++Jelikož se však zadání ptá na počet věcí, které si koupit nemůžeme, tak jako +řešení vypíšeme počet věcí od pozice, kde jsme skončili s procházením, do konce +pole cen.
++Řešení je jistě správné, určitě se totiž nemůže stát, že bychom si mohli koupit +víc věcí, než nám vypíše algoritmus. Vyhodili jsme z košíku ty nejdražší věci, +které jsme mohli, takže nám jich určitě nestačilo vyhodit méně.
++Rychlost řešení ovlivní hlavně to, jak rychle dokážeme ceny setřídit. Existují +různé třídící algoritmy a pokud použijete nějaký algoritmus zabudovaný přímo +v programovacím jazyce, běží většinou v čase O(n log n). Pokud jste si +implementovali vlastní jednoduché třídění, pravděpodobně bude mít časovou +složitost O(n2). O třídících algoritmech si můžete přečíst +v naší kuchařce o třídění.
+ + + +