![\"Dvourozměrné](\"https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/zakladni-algoritmy/zakladni_algoritmy-6.png\")
Jednou ze základních technik je rozdělení složitějšího problému na menší části, které opět můžeme rozdělit na menší a tak dále, dokud se nedostaneme k problémům tak malým, že je už umíme triviálně vyřešit.
Představme si, že máme seřazené pole n prvků a chceme zjistit, jestli se v něm nachází prvek s hodnotou k. Určitě můžeme projít celé pole v lineárním čase (tím, že budeme brát jeden prvek za druhým a kontrolovat, zda je roven hodnotě k), ale to je zbytečně pomalé a nevyužívá toho, že máme pole seřazené.
Můžeme totiž začít s velkým problémem a ten postupně zmenšovat na stále menší a menší. Nejdříve hledáme k v celém poli. Podíváme se na jeho prostřední prvek:
Když tímto postupným dělením problémů na menší dojdeme až k poli o velikosti jednoho prvku, stačí tento prvek jenom porovnat, dál už se pole nepokoušíme rozdělovat.
Jelikož se nám každým krokem problém zmenší na polovinu, maximálně po log n krocích se dostaneme na pole velikosti jedna. Říkáme, že algoritmus má logaritmickou časovou složitost, píšeme O(log n). (Pokud není řečeno jinak, znamená pro nás v informatice značka log dvojkový logaritmus, což je funkce opačná k funkci 2n a roste o hodně pomaleji než funkce lineární. Pro velká n platí: 1 < log n < n a například log 2 = 1, log 8 = 3, log 1024 = 10.)
Prakticky postup provádíme tak, že si udržujeme levý a pravý okraj aktuálně zpracovávaného úseku a postupně je k sobě přibližujeme.
FIXME code
Další typickou aplikací postupu rozděl a panuj je například třídění posloupnosti pomocí Mergesortu. Ten v základu funguje tak, že každou posloupnost, kterou dostane k setřídění, rozdělí na poloviny a každou z nich setřídí rekurzivním zavoláním sebe sama. Zanořování se zastaví ve chvíli, kdy třídíme posloupnost délky jedna (ta už je z podstaty setříděná). Pak jen v každém kroku ze dvou setříděných menších posloupností vyrobí jejich sléváním setříděnou posloupnost dvojnásobné délky.
Více se o metodě Rozděl a panuj můžete dozvědět ve stejnojmenné kuchařce.
", "position": [ - -841.6388244628906, - 755.4090232849121 + -1055.2265319824219, + 787.3630638122559 ] }, { @@ -2258,8 +2261,8 @@ "title": "Dvourozměrné prefixové součty", "htmlContent": "Prefixové součty se dají zobecnit i do více rozměrů, ale princip je vždy stejný. Například dvourozměrné prefixové součty u matice fungují tak, že si předpočítáme součty podmatic začínajících levým vrchním políčkem a končící na indexu [x,y].
Z toho je vidět, že prefixový součet zpravidla obsadí stejně velký prostor jako původní data, v tomto případě tedy budeme mít matici hodnot prefixových součtů končících na zadaných souřadnicích. Jak ale získat součet nějaké podmatice, která se nachází někde „uprostřed“ naší matice?
Použijeme stejný princip jako u jednorozměrného případu: Přičteme větší část, kterou chceme započítat, a odečteme od ní části, které započítat nechceme. Pro případ podmatice začínající vlevo nahoře na pozici [x,y] a končící napravo dole na [X,Y] to ilustruje následující obrázek:
Nejdříve přičteme celý prefixový součet končící na pozici [X,Y]. Tím jsme ale započítali i části A, B a C z obrázku, které započítat nechceme. Tak odečteme prefixové součty končící na indexech [X,y] a [x,Y]. Ale pozor, teď jsme odečetli jednou A+B a jednou A+C, tedy část A (prefixový součet končící na pozici [x,y]) jsme odečetli dvakrát, musíme ji proto ještě jednou přičíst.
Celý vzorec tedy vypadá takto:
soucet = P[X,Y] - P[X,y] - P[x,Y] + P[x,y];
Tento princip přičítání a odečítání se dá zobecnit i pro libovolné vyšší rozměry, ale chce to již trošku představivosti, co se má přičíst a kolikrát. Říká se tomu také princip inkluze a exkluze a najde použití nejen u vícerozměrných prefixových součtů.
", "position": [ - -710.7839622497559, - 1225.3379516601562 + -577.9223289489746, + 1311.1093139648438 ] }, {