Nejprve si vyřešme jednodušší úlohu: jak o nějaké posloupnosti závorek poznáme, jestli je (celá) správně uzávorkovaná? Určitě musí obsahovat stejný počet levých a pravých závorek – jinak těžko mohou tvořit páry.
Ovšem to nestačí. Uvažte třeba posloupnost ())(. Ta obsahuje dvě levé a dvě pravé závorky, ale korektním uzávorkováním určitě není. Na třetí pozici se pokoušíme ukončit závorku „dřív, než začala“.
Jak takovou situaci poznáme? Podíváme-li se na první tři znaky naší posloupnosti, vidíme, že obsahují jednu levou závorku a dvě pravé. Obecně problém nastane, pokud existuje v posloupnosti nějaké místo takové, že v úseku od začátku po toto místo je více pravých závorek než levých. Pak alespoň jedna z těch pravých nemá před sebou žádnou levou, se kterou bychom ji mohli spárovat.
Pokud posloupnost obsahuje stejně levých a pravých závorek a nenastane problém popsaný výše, pak už si snadno rozmyslíte, že je vždy jde správně spárovat, a tedy uzávorkování je korektní.
Nyní k původní úloze. Představme si, že si chceme označit všechna místa v posloupnosti, kde může končit korektní uzávorkování (začínající na začátku). Třeba pro příklad ze zadání to budou následující místa (označena hvězdičkou): (()())*()*)().
Jak je najdeme? Budeme postupně procházet posloupnost od začátku a průběžně si počítat, kolik levých a pravých závorek už jsme viděli. Pokud narazíme na místo, kde jsme napočítali víc pravých než levých, můžeme rovnou skončit. Už víme, že takové uzávorkování korektní není, a přidáním libovolných dalších závorek na konec už nemůžeme napravit chybějící závorky nalevo od aktuální pozice.
Pokud tato situace ještě nenastala a objevíme místo, před kterým je počet levých a pravých závorek stejný, označíme si jej. Podle toho, co jsme si řekli výše, uzávorkování končící na tomto místě je korektní.
Ukažme si průběh algoritmu na předchozím příkladu:
| ( | ( | ) | ( | ) | ) | ( | ) | ) | ( | ) | |
| Pozice | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Počet levých | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | - | - |
| Počet pravých | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | - | - |
| Rozdíl | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | -1 | - | - |
| Akce | * | * | X |
Hvězdička znamená označení místa s korektním uzávorkováním a X konec prohledávání, když žádné další uzávorkování korektní být nemůže.
Na konci jen vypíšeme nejpravější označené místo. Všimněme si, že si nemusíme ukládat všechna označená místa, stačí si vždy pamatovat poslední dosud nalezené. Další drobné zjednodušení je místo dvou počítadel použít jen jedno, uchovávající rozdíl počtu dosud načtených levých a pravých závorek (řádek „rozdíl“ v tabulce výše). Pak označujeme, když je toto počítadlo rovné nule, a končíme, pokud klesne pod nulu.
Program (Python 3) – počítání obou druhů závorek
Program (Python 3) – stačí nám počítat jen levé
Pokud máte pocit, že jste zde dříve viděli něco jiného, nemýlíte se. Věříme, že toto řešení pro vás bude stravitelnější.