7 changed files with 298 additions and 5 deletions
@ -0,0 +1,36 @@ |
|||
<p> |
|||
Kevin otevřel obálku (kterou našel ve schránce) a vyndal z ní všechny papíry. Jeden |
|||
ho obzvláště zaujal (ten od KSP). Ihned si všiml, že (na začátku) obsahuje nějak |
|||
mnoho závorek. Tak by ho zajímalo, jestli tam (autoři zadání) neudělali nějakou |
|||
chybu. Pomůžete mu (s ověřením)?</p> |
|||
<p> |
|||
Pro danou posloupnost symbolů <tt>(</tt> a <tt>)</tt>, tedy otevíracích |
|||
a zavíracích závorek, najděte od začátku co nejdelší úsek, který je platným |
|||
uzávorkováním – tedy každá závorka má svoji do páru.</p> |
|||
<p> |
|||
<i>Tvar vstupu:</i> |
|||
Na prvním řádku dostanete číslo <span class="math">N</span>. Na dalších <span class="math">N</span> řádcích budou jednotlivé |
|||
testovací případy.</p> |
|||
<p> |
|||
<i>Tvar výstupu:</i> |
|||
Pro každý testovací případ vypište na řádek délku nalezeného uzávorkování.</p> |
|||
<p> |
|||
Slibujeme, že <span class="math">N</span> bude nejvýše <span class="math">1 000</span>, a každý řádek bude mít nejvýše <span class="math">10<sup>5</sup></span> symbolů.</p> |
|||
<div class="leftfloat" style="width: 48%;"> |
|||
<i>Ukázkový vstup:</i> |
|||
<pre>3 |
|||
(()())())() |
|||
((()())())() |
|||
(()()))()()()()() |
|||
</pre> |
|||
</div> |
|||
<div class="rightfloat" style="width: 48%;"> |
|||
<i>Ukázkový výstup:</i> |
|||
<pre>8 |
|||
12 |
|||
6 |
|||
</pre> |
|||
</div> |
|||
<div class="clearfloat"></div> |
|||
<p> |
|||
Uzavírající závorka na deváté pozici nemá svůj protějšek. Druhý řádek je celý platné uzávorkování.</p> |
|||
@ -0,0 +1,51 @@ |
|||
<p> |
|||
Na podlaze se nachází sesypaný hrách s popelem a mezi tím poskakuje několik |
|||
holoubků a vrabčáků. Chtějí Popelce pomoct vysbírat všechen hrách. Pro každou |
|||
kuličku hrachu chceme zjistit, zda ji nějaký ptáček dokáže sezobnout a přenést |
|||
do ošatky. Holoubci i vrabčáci se však pohybují každý jinak. Vrabčáci poskakují |
|||
rovně dopředu, dozadu, doleva i doprava, zato holoubci chodí šikmo do všech |
|||
čtyř stran.</p> |
|||
<p> |
|||
Celou situaci si lze představit jako rozmístění figurek na šachovnici. |
|||
Holoubci představují černé střelce, vrabčáci černé věže a kuličky hrachu pak |
|||
bílé pěšáky. Pro každou bílou figurku chceme zjistit, zda ji dokážeme v jednom |
|||
tahu nějakou černou figurkou vyhodit.</p> |
|||
<p> |
|||
<i>Formát vstupu:</i> Na prvním řádku vstupu se nachází dvě čísla <span class="math">B</span> a <span class="math">C</span>, a to |
|||
počet kuliček hrachu (neboli bílých figurek) a počet ptáčků (neboli černých |
|||
figurek). Na dalších <span class="math">B</span> řádcích se nachází souřadnice kuliček hrachu jako |
|||
dvojice čísel oddělených mezerou, číslo řádku a číslo sloupce udávajících, kde |
|||
se kulička nachází. Na dalších <span class="math">C</span> řádcích se pak nachází pozice ptáčků – každý |
|||
takový řádek obsahuje znak <tt>H</tt> nebo <tt>V</tt> a dvojici čísel udávajících |
|||
řádek a sloupec, kde ptáček stojí (opět vše oddělené mezerami). Znak <tt>H</tt> |
|||
značí holoubka (pohybuje se jako střelec) a znak <tt>V</tt> vrabčáka (pohybuje se |
|||
jako věž). Figurky na vstupu mohou být seřazené náhodně.</p> |
|||
<p> |
|||
<i>Formát výstupu:</i> Na <span class="math">B</span> řádků výstupu vypište (ve stejném pořadí, jako na |
|||
vstupu) pro každou kuličku hrachu <tt>ANO</tt> nebo <tt>NE</tt> podle toho, jestli |
|||
existuje nějaký holoubek nebo vrabčák, který může tuto kuličku hrachu jedním |
|||
tahem sezobnout.</p> |
|||
<div class="leftfloat" style="width: 48%;"> |
|||
<i>Ukázkový vstup:</i> |
|||
<pre>4 3 |
|||
0 1 |
|||
0 2 |
|||
0 3 |
|||
2 2 |
|||
V 0 0 |
|||
H 1 3 |
|||
V 3 3 |
|||
</pre> |
|||
</div> |
|||
<div class="rightfloat" style="width: 48%;"> |
|||
<i>Ukázkový výstup:</i> |
|||
<pre>ANO |
|||
ANO |
|||
NE |
|||
ANO |
|||
</pre> |
|||
<img class="rightfloat image" src="http://localhost/h/ulohy/31/t3133.png" alt="Šachovnice s příkladem" title="Šachovnice s příkladem"> |
|||
</div> |
|||
<div class="clearfloat"></div> |
|||
<i>Poznámka:</i> |
|||
BUG |
|||
@ -0,0 +1,28 @@ |
|||
<p> |
|||
Kevin se po prázdninách zase vrací do školy. Jako obvykle dostal seznam pomůcek, |
|||
které si má obstarat. Malé sešity, velké sešity, pravítko, pastelky, barvy na |
|||
výtvarku, učebnice na češtinu a dějepis a možná i novou aktovku. To vypadá na |
|||
velký nákup!</p> |
|||
<p> |
|||
Kevin se tedy vydal do obchodu. Jak dává věci do košíku, píše si i seznam cen. V |
|||
tom si ale uvědomí, že má jen <span class="math">P</span> korun. Kolik nejméně z <span class="math">N</span> věcí v košíku musí |
|||
Kevin vyhodit, aby mu <span class="math">P</span> korun stačilo?</p> |
|||
<p> |
|||
<i>Tvar vstupu:</i> Na prvním řádku se nachází počet věcí v košíku <span class="math">N</span> a počet korun <span class="math">P</span>, které Kevin může |
|||
utratit. Na druhém řádku je pak seznam cen věcí v košíku, tedy <span class="math">N</span> kladných čísel |
|||
oddělených mezerami.</p> |
|||
<p> |
|||
<i>Tvar výstupu:</i> Vypište jedním číslem nejmenší počet věcí, které musí Kevin |
|||
z košíku vyhodit.</p> |
|||
<div class="leftfloat" style="width: 48%;"> |
|||
<i>Ukázkový vstup:</i> |
|||
<pre>5 59 |
|||
8 20 30 1999 40 |
|||
</pre> |
|||
</div> |
|||
<div class="rightfloat" style="width: 48%;"> |
|||
<i>Ukázkový výstup:</i> |
|||
<pre>2 |
|||
</pre> |
|||
</div> |
|||
<div class="clearfloat"></div> |
|||
@ -0,0 +1,65 @@ |
|||
<p> |
|||
Nejprve si vyřešme jednodušší úlohu: jak o nějaké posloupnosti závorek |
|||
poznáme, jestli je (celá) správně uzávorkovaná? Určitě musí obsahovat |
|||
stejný počet levých a pravých závorek – jinak těžko mohou tvořit páry.</p> |
|||
<p> |
|||
Ovšem to nestačí. Uvažte třeba posloupnost <tt>())(</tt>. Ta obsahuje dvě |
|||
levé a dvě pravé závorky, ale korektním uzávorkováním určitě není. |
|||
Na třetí pozici se pokoušíme ukončit závorku „dřív, než začala“.</p> |
|||
<p> |
|||
Jak takovou situaci poznáme? Podíváme-li se na první tři znaky naší |
|||
posloupnosti, vidíme, že obsahují jednu levou závorku a dvě pravé. |
|||
Obecně problém nastane, pokud existuje v posloupnosti nějaké místo |
|||
takové, že v úseku od začátku po toto místo je více pravých závorek |
|||
než levých. Pak alespoň jedna z těch pravých nemá před sebou žádnou |
|||
levou, se kterou bychom ji mohli spárovat.</p> |
|||
<p> |
|||
Pokud posloupnost obsahuje stejně levých a pravých závorek a nenastane |
|||
problém popsaný výše, pak už si snadno rozmyslíte, že je vždy jde |
|||
správně spárovat, a tedy uzávorkování je korektní.</p> |
|||
<div class="center"><img class="image" src="http://localhost/img/hippo_table_pilot.png" alt="Ilustrace: Hroší pilot" title="Ilustrace: Hroší pilot"></div> |
|||
<p> |
|||
Nyní k původní úloze. Představme si, že si chceme označit všechna |
|||
místa v posloupnosti, kde může končit korektní uzávorkování (začínající |
|||
na začátku). Třeba pro příklad ze zadání to budou následující místa |
|||
(označena hvězdičkou): <tt>(()())*()*)()</tt>.</p> |
|||
<p> |
|||
Jak je najdeme? Budeme postupně procházet posloupnost od začátku a průběžně |
|||
si počítat, kolik levých a pravých závorek už jsme viděli. Pokud narazíme |
|||
na místo, kde jsme napočítali víc pravých než levých, můžeme rovnou skončit. |
|||
Už víme, že takové uzávorkování korektní není, a přidáním libovolných dalších |
|||
závorek na konec už nemůžeme napravit chybějící závorky nalevo od aktuální |
|||
pozice.</p> |
|||
<p> |
|||
Pokud tato situace ještě nenastala a objevíme místo, před kterým je počet |
|||
levých a pravých závorek stejný, označíme si jej. Podle toho, co jsme si |
|||
řekli výše, uzávorkování končící na tomto místě je korektní.</p> |
|||
<p> |
|||
Ukažme si průběh algoritmu na předchozím příkladu:</p> |
|||
<div class="center"> |
|||
<table class="centertable borderedtable"> |
|||
<tbody><tr><td></td><td> (</td><td> (</td><td> ) </td><td> (</td><td> ) </td><td> ) </td><td> (</td><td> ) </td><td> ) </td><td> (</td><td> )</td></tr> |
|||
<tr><td>Pozice </td><td> 1 </td><td> 2 </td><td> 3 </td><td> 4 </td><td> 5 </td><td> 6 </td><td> 7 </td><td> 8 </td><td> 9 </td><td> 10 </td><td> 11</td></tr> |
|||
<tr><td>Počet levých </td><td> 1 </td><td> 2 </td><td> 2 </td><td> 3 </td><td> 3 </td><td> 3 </td><td> 4 </td><td> 4 </td><td> 4 </td><td> - </td><td> -</td></tr> |
|||
<tr><td>Počet pravých </td><td> 0 </td><td> 0 </td><td> 1 </td><td> 1 </td><td> 2 </td><td> 3 </td><td> 3 </td><td> 4 </td><td> 5 </td><td> - </td><td> -</td></tr> |
|||
<tr><td>Rozdíl </td><td> 1 </td><td> 2 </td><td> 1 </td><td> 2 </td><td> 1 </td><td> 0 </td><td> 1 </td><td> 0 </td><td> -1 </td><td> - </td><td> -</td></tr> |
|||
<tr><td>Akce </td><td> </td><td> </td><td> </td><td> </td><td> </td><td> * </td><td> </td><td> * </td><td> <tt>X</tt> </td><td> </td><td></td></tr> |
|||
</tbody></table> |
|||
</div> |
|||
<p> |
|||
Hvězdička znamená označení místa s korektním uzávorkováním |
|||
a <tt>X</tt> konec prohledávání, když žádné další uzávorkování korektní být |
|||
nemůže.</p> |
|||
<p> |
|||
Na konci jen vypíšeme nejpravější označené místo. Všimněme si, že |
|||
si nemusíme ukládat všechna označená místa, stačí si vždy pamatovat |
|||
poslední dosud nalezené. Další drobné zjednodušení je místo dvou |
|||
počítadel použít jen jedno, uchovávající rozdíl počtu dosud načtených |
|||
levých a pravých závorek (řádek „rozdíl“ v tabulce výše). Pak označujeme, |
|||
když je toto počítadlo rovné nule, a končíme, pokud klesne pod nulu.</p> |
|||
<p><a href="http://localhost/z/ulohy/28/28Z11-1.py">Program (Python 3) – počítání obou druhů závorek</a></p> |
|||
<p><a href="http://localhost/z/ulohy/28/28Z11-2.py">Program (Python 3) – stačí nám počítat jen levé</a></p> |
|||
<p class="author"><a href="http://localhost/kontakty/organizatori/">Filip Štědronský</a></p> |
|||
<p> |
|||
<i>Pokud máte pocit, že jste zde dříve viděli něco jiného, nemýlíte se. Věříme, že toto řešení pro vás bude stravitelnější.</i></p> |
|||
<hr class="clearfloat"> |
|||
@ -0,0 +1,50 @@ |
|||
<p> |
|||
Pro každou z bílých figurek chceme zjistit, zda je ohrožována aspoň jednou |
|||
černou. Můžeme zkusit vyzkoušet pro každou dvojici bílé a černé figurky, zda se |
|||
ohrožují. Těchto dvojic je ovšem až kvadraticky mnoho a navíc se nám může stát, že |
|||
i když by se dvojice ohrožovala, tak se mezi nimi nachází další figurka, která |
|||
černé figurce z naší dvojice překáží ve výhledu a znemožňuje jí bílou figurku |
|||
sebrat. Protože ověřit, zda dvojici nepřekáží ve výhledu další figurka, trvá |
|||
lineárně dlouho, toto řešení je <span class="math">O(n<sup>3</sup>)</span>.</p> |
|||
<p> |
|||
Jelikož černé figurky jsou pouze věže a střelci, bílé figurky mohou být |
|||
ohroženy pouze z dohromady osmi směrů, kterými se černé dokážou pohybovat. |
|||
Řešení můžeme vylepšit tím, že budeme zjišťovat, zda je bílá figurka ohrožena, |
|||
pro každý směr zvlášť. Například pokud chceme pro každou bílou figurku zjistit, |
|||
zda je ohrožena zleva nebo zprava, stačí nám uvažovat pouze ty figurky, které |
|||
leží na stejném řádku. Navíc každá figurka má na svém řádku nejvýše dva |
|||
sousedy, jednoho zleva, druhého zprava. Stačí nám uvažovat jen tyto |
|||
sousedy, protože budou všem ostatním figurkám na řádku překážet ve výhledu. Pro |
|||
každou z lineárně mnoho bílých figurek tedy v lineárním čase najdeme ty |
|||
figurky, které s nimi sdílí řádek (pro ostatní směry ty, které sdílí sloupec či |
|||
diagonálu), v lineárním čase najdeme mezi nimi dva nejbližší sousedy bílé |
|||
figurky a pro ty vyzkoušíme, zda figurku neohrožují, to jest zda se jedná o černé figurky a jestli jsou typu, který se umí v tomto směru pohybovat. Celkově je toto řešení |
|||
<span class="math">O(n · (n + n))</span>, tedy <span class="math">O(n<sup>2</sup>)</span>.</p> |
|||
<p> |
|||
Abychom uměli rychle zjistit, které figurky leží na stejném řádku, můžeme si |
|||
nejprve všechny figurky seřadit podle jejich souřadnice řádku. V seřazeném seznamu figurek |
|||
leží figurky na stejném řádku vedle sebe. Pokud bychom navíc vzali |
|||
všechny figurky na stejném řádku a seřadili je podle souřadnice sloupce a |
|||
uložili do nějakého pole, budeme je mít uspořádané v tom pořadí, v jakém leží |
|||
na řádku za sebou. Pro libovolnou figurku na řádku tedy umíme najít její |
|||
sousedy prostě tak, že se podíváme v tomto uspořádaném poli na index o jedna |
|||
nižší a o jedna vyšší.</p> |
|||
<p> |
|||
Tato dvě setřídění můžeme provést zároveň. Primárně figurky setřídíme podle |
|||
souřadnice řádku, sekundárně pak podle souřadnice sloupce. Takové uspořádání, |
|||
kde třídíme primárně podle jednoho kritéria a sekundárně podle jiného, se |
|||
nazývá <i>lexikografické.</i> Nyní nám stačí projít setříděné pole a pro každou |
|||
bílou figurku se podívat na její dva sousedy a rozhodnout, zda ji neohrožují. |
|||
Také musíme dát pozor na to, že sousední figurky v setříděném poli figurek se |
|||
nemusí nacházet na stejném řádku. Pokud je soused bíle figurky na jiném řádku, |
|||
znamená to, že v daném směru se už na stejném řádku nenachází žádné figurky. |
|||
Také si všimněme, že tímto uspořádáním najdeme všechny takové figurky, které |
|||
bíle ohrožují ne jen z jednoho směru z osmi, ale ze dvou (zprava i zleva).</p> |
|||
<p> |
|||
Kompletní řešení pro každou ze čtyř „os“ (doleva-doprava, nahoru-dolů, |
|||
diagonálně doprava nahoru, diagonálně doprava dolů) lexikograficky figurky |
|||
uspořádá, uspořádané pole v lineárním čase projde a pro každou bílou figurku určí, zda |
|||
je ohrožována. Toto řešení má tedy časovou složitost <span class="math">O(n <span class="nomath">log</span> n)</span>.</p> |
|||
<p><a href="http://localhost/h/ulohy/31/3133.c">Program (C)</a></p> |
|||
<p class="author"><a href="http://localhost/kontakty/organizatori/">Kuba Pelc</a></p> |
|||
<hr class="clearfloat"> |
|||
@ -0,0 +1,27 @@ |
|||
<p> |
|||
K tomu, abychom za věci utratili co možná nejméně, potřebujeme do košíku |
|||
postupně vybírat věci od té nejlevnější po tu nejdražší.</p> |
|||
<p> |
|||
Pole cen tedy vzestupně setřídíme a budeme jej postupně procházet, přičemž |
|||
si budeme pamatovat součet cen věcí, které při průchodu potkáme. Jakmile |
|||
při procházení přesáhne tento součet koruny vyhrazené na nákup, tak podle |
|||
pozice v poli víme, kolik věcí si můžeme koupit.</p> |
|||
<p> |
|||
Jelikož se však zadání ptá na počet věcí, které si koupit nemůžeme, tak jako |
|||
řešení vypíšeme počet věcí od pozice, kde jsme skončili s procházením, do konce |
|||
pole cen.</p> |
|||
<p> |
|||
Řešení je jistě správné, určitě se totiž nemůže stát, že bychom si mohli koupit |
|||
víc věcí, než nám vypíše algoritmus. Vyhodili jsme z košíku ty nejdražší věci, |
|||
které jsme mohli, takže nám jich určitě nestačilo vyhodit méně.</p> |
|||
<p> |
|||
Rychlost řešení ovlivní hlavně to, jak rychle dokážeme ceny setřídit. Existují |
|||
různé třídící algoritmy a pokud použijete nějaký algoritmus zabudovaný přímo |
|||
v programovacím jazyce, běží většinou v čase <span class="math">O(n <span class="nomath">log</span> n)</span>. Pokud jste si |
|||
implementovali vlastní jednoduché třídění, pravděpodobně bude mít časovou |
|||
složitost <span class="math">O(n<sup>2</sup>)</span>. O třídících algoritmech si můžete přečíst |
|||
v naší <a href="http://localhost/viz/kucharky/trideni">kuchařce o třídění</a>.</p> |
|||
<p><a href="http://localhost/z/ulohy/32/32Z11.py">Program (Python 3)</a></p> |
|||
<p><a href="http://localhost/z/ulohy/32/32Z11.cpp">Program (C++)</a></p> |
|||
<p class="author"><a href="http://localhost/kontakty/organizatori/">Tom Sláma</a></p> |
|||
<hr class="clearfloat"> |
|||
Reference in new issue